При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Источник: mathege
Решение:
Пусть некоторый пациент имеет заболевание с вероятностью х, тогда не имеет это заболевание с вероятностью 1 – х.
Положительный результат анализа может быть в 2-х случаях:
1) Пациент имеет заболевание и получает положительный результат, вероятность этого события (86% = 0,86):
х·0,86
2) Пациент не имеет это заболевание, тест дал ложный результат, вероятность (94% = 0,94):
(1 – х)·(1 – 0,94)
Зная, что тест в среднем оказывается положительным у 10% = 0,1 пациентов, составим уравнение:
х·0,86 + (1 – х)·(1 – 0,94) = 0,1
х·0,86 + (1 – х)·0,06 = 0,1
х·0,86 + 0,06 – 0,06х = 0,1
х·0,80 = 0,1 – 0,06
х·0,8 = 0,04
x=\frac{0,04}{0,8}=0,05
Вероятность того, что пациент болен, при условии, что тест уже оказался положительным, называется условной вероятностью и находится по формуле:
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, где
Р(В) – вероятность того, что тест оказался положительным;
Р(АВ) – вероятность, что пациент болен и тест положительный;
P(A|B)=\frac{0,05\cdot 0,86}{0,1}=0,43
Ответ: 0,43.