Юрий Сергеевич начал строить на дачном участке теплицу (рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 5 м (DC на рис. 2) и шириной 2,8 м (AD на рис. 2). Нижний ярус теплицы имеет форму прямоугольного параллелепипеда, собран из металлического профиля и по длине для прочности укреплён металлическими стойками. Высота нижнего яруса теплицы в два раза меньше её ширины. Для верхнего яруса теплицы Юрий Сергеевич заказал металлические дуги в форме полуокружностей, которые крепятся к стойкам нижнего яруса. Отдельно требуется купить материал для обтяжки поверхности теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис. 1 прямоугольником ЕFКN, где точки Е, Р и N делят отрезок АD на равные части. Внутри теплицы Юрий Сергеевич планирует сделать три грядки: одну широкую центральную и две одинаковые узкие по краям, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 40 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером 20х20 см.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Задание 1
Найдите высоту теплицы PQ в метрах.
Решение:
Высоту теплицы PQ можно найти следующим образом:
PQ = PO + OQ
РО – это высота нижнего яруса теплицы, который в два раза меньше её ширины AD:
PO = AD/2 = 2,8/2 = 1,4 м
OQ – это радиус полуокружности верхнего яруса теплицы, равный половине ширины теплицы AD (т.к. E, P и N делят отрезок AD на равные части):
R = OQ = PD = AD/2 = 2,8/2 = 1,4 м
Найдём высоту теплицы PQ:
PQ = PO + OQ = 1,4 + 1,4 = 2,8 м
Ответ: 2,8.
Задание 2
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 8 штук?
Решение:
По условию ширина грядок равна 40 см. Длина нижней дорожки, равна ширине теплицы AD = 2,8 м = 280 см. Длины двух других дорожек равны длине теплицы СВ = 5 м = 500 см:
Найдём общую площадь всех трёх грядок:
40·280 + 40·500 + 40·500 = 40·(280 + 500 + 500) = 40·1280 = 51200 см2
Дорожки пересекаются, площадь двух квадратов посчитали дважды, вычтем их:
51200 – 40·40 – 40·40 = 48000 см2
Площадь одной тротуарной плитки равна 20х20 см:
20·20 = 400 см2
Найдём сколько нужно купить:
48000/400 = 120 плиток
В одной упаковке 8 плиток, значит надо купить:
120/8 = 15 упаковок
Ответ: 15.
Задание 3
Найдите ширину центральной грядки, если она на 20 см больше ширины узкой грядки. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Пусть ширина каждой из узких грядок равна х см, тогда ширина центральной грядки х + 20 см. Зная все расстояния, составим уравнение и найдём х:
х + 40 + х + 20 + 40 + х = 280
3х + 100 = 280
3х = 280 – 100
3х = 180
х = 180/3 = 60 см
Найдём ширину центральной грядки:
х + 20 = 60 + 20 = 80 см
Ответ: 80.
Задание 4
Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса теплицы. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых.
Решение:
Длина металлической дуги, это половина длины окружности с радиусом равным 1,4 м. Найдём по формуле длину окружности:
С = 2πR = 2·3,14·1,4
Длина дуги в два раза меньше, округлим в большую сторону до десятых:
\frac{С}{2}=\frac{2·3,14·1,4}{2}=3,14·1,4=4,396\approx 4,4\:м
Ответ: 4,4.
Задание 5
Найдите высоту EF входа в теплицу в сантиметрах с точностью до целого.
Решение:
Высоту EF можно найти следующим образом:
EF = EV + VF
EV – это высота нижнего яруса теплицы он равен 1,4 м = 140 см.
Рассмотрим ΔFVO, он прямоугольный, в нём FO = 1,4 м = 140 см, как радиус дуги. VO = EP, как параллельные стороны прямоугольника, и равен 2,8/4 = 0,7 м = 70 см.
В прямоугольном ΔFVO, по теореме Пифагора, найдём VF:
FO2 = VF2 + VO2
1402 = VF2 + 702
1402 – 702= VF2
14700 = VF2
VF = √14700
Найдём высоту EF, в сантиметрах с точностью до целого:
EF = EV + VF = 140 + \sqrt{14700} = 140 + \sqrt{3\cdot 49\cdot 100}=140+\sqrt{3\cdot 7^{2}\cdot 10^{2}}=140+7\cdot 10\cdot \sqrt{3}=140+70\cdot \sqrt{3}\approx 140+70\cdot 1,73 \approx 140+121,1\approx 261,1\approx 261\: см
Что бы найти приближённое значение √3, в таблице квадратов из справочного материала ОГЭ находим, что наиболее близкое число это 1,7, а потом в столбик находим ближайшее число до сотых это 1,73:
По ответам сборника, будет верным любой ответ в диапазоне от 260 до 263 см включительно.
Ответ: 261.