Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 9 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим за 1.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{1}{x}.
Второй автомобилист проехал половину \frac{1}{2} пути со скоростью х – 8 км/ч, а вторую половину пути \frac{1}{2}, со скоростью 60 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{1}{2}}{x-9}+\frac{\frac{1}{2}}{60}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{1}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{x-9}+\frac{\frac{1}{2}}{60}
Умножим обе части уравнения на 2:
\frac{2}{x}=\frac{1}{x-9}+\frac{1}{60}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot 60+1\cdot ( x-9)}{60\cdot( x-9)}\\\frac{2}{x}=\frac{51+x}{60\cdot (x-9)}
2·60·(x – 9) = x·(51 + x)
120x – 1080 = 51x + x2
x2 + 51x – 120x + 1080 = 0
x2 – 69x + 1080 = 0
D = (–69)2 – 4·1·1080 = 441 = 212
x_{1}=\frac{69+21}{2\cdot 1}=\frac{90}{2}=45\\x_{2}=\frac{69-21}{2\cdot 1}=\frac{48}{2}=24\:{\color{Blue} <40\:\notin }
По условию скорость первого автомобиля больше 40 км/ч, значит она равна 45 км/ч.
Ответ: 45.