На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{с} целочисленными координатами. Найдите длину вектора \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Найдём координаты векторов, найдя на рисунке координаты точек начала и точек конца каждого вектора:
\overrightarrow{a}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{a}\left\{2 -5;2-7 \right\}=\overrightarrow{a}\left\{-3;-5\right\} \\ \overrightarrow{b}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{b}\left\{8 -2;4-2 \right\}=\overrightarrow{b}\left\{6;2\right\}\\ \overrightarrow{c}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{c}\left\{8 -8;7-8 \right\}=\overrightarrow{c}\left\{0;-1\right\}
Найдём координаты искомого вектора:
| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\:\left\{ x_{1}+x_{2}+x_{3};y_{1}+y_{2}+y_{3} \right\}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\: \left\{ -3+6+0;-5+2+(-1) \right\}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\:\left\{ 3;-4 \right\} |
Найдём длину искомого вектора:
|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
Ответ: 5.