Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий.
Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, – 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Источники: Досрочная волна 2024.

Решение:

    Пусть на 1-м заводе рабочие трудятся x2 часов в неделю и производят за эту неделю x единиц товара. На 2-м заводе трудятся y2 часов в неделю, производят y товара в неделю. S – колличество товара произведённого за неделю на этих двух заводах, оно равно:

S = x + y

    Оплата работы рабочим на двух заводах за неделю равно:

200x2 + 300y2 = 1200000

    Из первого уравнения выразим y:

y = S – x

    Подставим во второе уравнение:

200x2 + 300(S – x)2 = 1200000 |:100
2x2 + 3(S – x)2 = 12000
2x2 + 3(S2 – 2Sx + x2) = 12000
2x2 + 3S2 – 6Sx + 3x2 – 12000 = 0
5x2 – 6Sx + 3S2 – 12000 = 0
5x2 – (6S)·x + (3S2 – 12000) = 0

    Полученное уравнение имеет решения, если его дискриминант неотрицателен:

D = (–6S)2 – 4·5·(3S2 – 12000) = 36S2 – 60S2 + 240000 = –24S2 + 240000

–24S2 + 240000 ≥ 0
–24S2 ≥ 240000 |:–24
S2 ≤ 10000
метод интервалов:
S2 = 10000
S1 = –√10000 = –100
S2 = +√10000 = 100

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах.

100 ≤ S ≤ 100

    Наибольшее возможное S = 100.
    Найдём чему тогда равен х:

5x2 – (6S)·x + (3S2 – 12000) = 0
5x2 – (6·100)·x + (3·1002 – 12000) = 0
5x2 – 600x + 18000 = 0 |:5
x2 – 120x + 3600 = 0
x2 – 2·60·x + 602 = 0
(x – 60)2 = 0
x = 60

    Найдём у:

y = S – x = 100 – 60 = 40

    Получаем, что значение S = 100, достигается при натуральных значениях х и у, его и записываем в ответ.

Ответ: 100.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 3

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.