Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий.
Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, – 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Источники: Досрочная волна 2024.
Решение:
Пусть на 1-м заводе рабочие трудятся x2 часов в неделю и производят за эту неделю x единиц товара. На 2-м заводе трудятся y2 часов в неделю, производят y товара в неделю. S – колличество товара произведённого за неделю на этих двух заводах, оно равно:
S = x + y
Оплата работы рабочим на двух заводах за неделю равно:
200x2 + 300y2 = 1200000
Из первого уравнения выразим y:
y = S – x
Подставим во второе уравнение:
200x2 + 300(S – x)2 = 1200000 |:100
2x2 + 3(S – x)2 = 12000
2x2 + 3(S2 – 2Sx + x2) = 12000
2x2 + 3S2 – 6Sx + 3x2 – 12000 = 0
5x2 – 6Sx + 3S2 – 12000 = 0
5x2 – (6S)·x + (3S2 – 12000) = 0
Полученное уравнение имеет решения, если его дискриминант неотрицателен:
D = (–6S)2 – 4·5·(3S2 – 12000) = 36S2 – 60S2 + 240000 = –24S2 + 240000
–24S2 + 240000 ≥ 0
–24S2 ≥ 240000 |:–24
S2 ≤ 10000
метод интервалов:
S2 = 10000
S1 = –√10000 = –100
S2 = +√10000 = 100
100 ≤ S ≤ 100
Наибольшее возможное S = 100.
Найдём чему тогда равен х:
5x2 – (6S)·x + (3S2 – 12000) = 0
5x2 – (6·100)·x + (3·1002 – 12000) = 0
5x2 – 600x + 18000 = 0 |:5
x2 – 120x + 3600 = 0
x2 – 2·60·x + 602 = 0
(x – 60)2 = 0
x = 60
Найдём у:
y = S – x = 100 – 60 = 40
Получаем, что значение S = 100, достигается при натуральных значениях х и у, его и записываем в ответ.
Ответ: 100.