В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого годя необходимо оплатить одним платежом часть долга
– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Источник: Ященко ЕГЭ 2024 (36 вар)
Решение:
S = 1500 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% = 15% = 0,15;
x – величина на которую уменьшается долг первые 5 лет;
у – величина на которую уменьшается долг следующие 5 лет;
S = 5x + 5y = 1500 тыс. рублей;
Сумма всех платежей = 2400 тыс. рублей.
| Год | Долг начальный | % (январь) | Платёж (x или y + %) (февраль – июнь) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 2027 | 5x + 5y | – | – | – |
| 2028 | 5x + 5y | 5x + 5y + 0,15(5x + 5y) | x + 0,15(5x + 5y) | 5x + 5y + 0,15(5x + 5y) – (x + 0,15(5x + 5y)) = 4x + 5y |
| 2029 | 4x + 5y | 4x + 5y + 0,15(4x + 5y) | x + 0,15(4x + 5y) | 4x + 5y + 0,15(4x + 5y) – (x + 0,15(4x + 5y)) = 3x + 5y |
| 2030 | 3x + 5y | 3x + 5y + 0,15(3x + 5y) | x + 0,15(3x + 5y) | 3x + 5y + 0,15(3x + 5y) – (x + 0,15(3x + 5y)) = 2x + 5y |
| 2031 | 2x + 5y | 2x + 5y + 0,15(2x + 5y) | x + 0,15(2x + 5y) | 2x + 5y + 0,15(2x + 5y) – (x + 0,15(2x + 5y)) = x + 5y |
| 2032 | x + 5y | x + 5y + 0,15(x + 5y) | x + 0,15(x + 5y) | x + 5y + 0,15(x + 5y) – (x + 0,15(x + 5y)) = 5y |
| 2033 | 5y | 5y + 0,15·5y | y + 0,15·5y | 5y + 0,15·5y – (y + 0,15·5y) = 4y |
| 2034 | 4y | 4y + 0,15·4y | y + 0,15·4y | 4y + 0,15·4y – (y + 0,15·4y) = 3y |
| 2035 | 3y | 3y + 0,15·3y | y + 0,15·3y | 3y + 0,15·3y – (y + 0,15·3y) = 2y |
| 2036 | 2y | 2y + 0,15·2y | y + 0,15·2y | 2y + 0,15·2y – (y + 0,15·2y) = y |
| 2037 | y | y + 0,15·y | y + 0,15·y | y + 0,15·y – (y + 0,15·y) = 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
x + 0,15(5x + 5y) + x + 0,15(4x + 5y) + x + 0,15(3x + 5y) + x + 0,15(2x + 5y) + x + 0,15(x + 5y) + y + 0,15·5y + y + 0,15·4y + y + 0,15·3y + y + 0,15·2y + y + 0,15·y = 5x + 5y + 0,15(5x + 5y + 4x + 5y + 3x + 5y + 2x + 5y + x + 5y + 5y + 4y + 3y + 2y + y) = 5x + 5y + 0,15(15x + 40y)
По условию сумма всех платежей равна 2400 тыс. рублей:
5x + 5y + 0,15·(15x + 40y) = 2400
Знаем, что 5x + 5y = 1500, подставим и получим:
5x + 5y + 0,15(15x + 40y) = 2400
1500 + 0,15(15x + 40y) = 2400
0,15(15x + 40y) = 2400 – 1500
0,15(15x + 40y) = 900
15x + 40y = 900/0,15
15x + 40y = 6000 |:5
3x + 8y = 1200
Добавим уравнение 5x + 5y = 1500 и решим систему уравнений:
\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ 5x+5y=1500\:{\color{Blue} |: 5} \end{cases}\\\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ x+y=300 \:{\color{Blue} |\cdot 3}\end{cases}\\\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ 3x+3y=900 \end{cases}
Вычтем из 1-го уравнения 2-е уравнение:
3х – 3х + 8y –3y = 1200 – 900
5y = 300
y = 300/5 = 60 тыс. рублей
Найдём х:
х + y = 300
x + 60 = 300
x = 300 – 60 = 240 тыс. рублей
Найдём сумму платежа за 2029 год:
x + 0,15(4x + 5y) = 240 + 0,15(4·240 + 5·60) = 240 + 0,15·1260 = 240 + 189 = 429 тыс. рублей
Ответ: 429 тыс. рублей