В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого годя необходимо оплатить одним платежом часть долга
– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

Источник: Ященко ЕГЭ 2024 (36 вар)

Решение:

S = 1500 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
%
= 15% = 0,15;
x
величина на которую уменьшается долг первые 5 лет;
у величина на которую уменьшается долг следующие 5 лет;
S = 5x + 5y = 1500 тыс. рублей;

Сумма всех платежей = 2400 тыс. рублей.

ГодДолг начальный% (январь)Платёж
(x или y + %) (февраль – июнь)
Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль)
20275x + 5y
20285x + 5y5x + 5y + 0,15(5x + 5y)x + 0,15(5x + 5y)5x + 5y + 0,15(5x + 5y) (x + 0,15(5x + 5y)) = 4x + 5y
20294x + 5y4x + 5y + 0,15(4x + 5y)x + 0,15(4x + 5y)4x + 5y + 0,15(4x + 5y) (x + 0,15(4x + 5y)) = 3x + 5y
20303x + 5y3x + 5y + 0,15(3x + 5y)x + 0,15(3x + 5y)3x + 5y + 0,15(3x + 5y) (x + 0,15(3x + 5y)) = 2x + 5y
20312x + 5y2x + 5y + 0,15(2x + 5y)x + 0,15(2x + 5y)2x + 5y + 0,15(2x + 5y) (x + 0,15(2x + 5y)) = x + 5y
2032x + 5yx + 5y + 0,15(x + 5y)x + 0,15(x + 5y)x + 5y + 0,15(x + 5y) (x + 0,15(x + 5y)) = 5y
 20335y5y + 0,15·5y y + 0,15·5y 5y + 0,15·5y (y + 0,15·5y) = 4y
 20344y4y + 0,15·4y y + 0,15·4y 4y + 0,15·4y (y + 0,15·4y) = 3y
 20353y3y + 0,15·3y y + 0,15·3y 3y + 0,15·3y (y + 0,15·3y) = 2y
 20362y2y + 0,15·2y y + 0,15·2y 2y + 0,15·2y (y + 0,15·2y) = y
 2037yy + 0,15·y y + 0,15·y y + 0,15·y (y + 0,15·y) = 0

    Складываем все платежи и упрощаем выражение:

x + 0,15(5x + 5y) + x + 0,15(4x + 5y) + x + 0,15(3x + 5y) + x + 0,15(2x + 5y) + x + 0,15(x + 5y) + y + 0,15·5y + y + 0,15·4y + y + 0,15·3y + y + 0,15·2y + y + 0,15·y = 5x + 5y + 0,15(5x + 5y + 4x + 5y + 3x + 5y + 2x + 5y + x + 5y + 5y + 4y + 3y + 2y + y) = 5x + 5y + 0,15(15x + 40y)

    По условию сумма всех платежей равна 2400 тыс. рублей:

5x + 5y + 0,15·(15x + 40y) = 2400

    Знаем, что 5x + 5y = 1500, подставим и получим:

5x + 5y + 0,15(15x + 40y) = 2400
1500 + 0,15(15x + 40y) = 2400
0,15(15x + 40y) = 2400 – 1500
0,15(15x + 40y) = 900
15x + 40y = 900/0,15
15x + 40y = 6000 |:5
3x + 8y = 1200

    Добавим уравнение 5x + 5y = 1500 и решим систему уравнений:

\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ 5x+5y=1500\:{\color{Blue} |: 5} \end{cases}\\\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ x+y=300 \:{\color{Blue} |\cdot 3}\end{cases}\\\begin{cases} 3x+8y=1200 \\ 3x+3y=900 \end{cases}

    Вычтем из 1-го уравнения 2-е уравнение:

3х – 3х + 8y –3y = 1200 – 900
5y = 300
y = 300/5 = 60 тыс. рублей

    Найдём х:

х + y = 300
x + 60 = 300
x = 300 – 60 = 240 тыс. рублей

    Найдём сумму платежа за 2029 год:

x + 0,15(4x + 5y) = 240 + 0,15(4·240 + 5·60) = 240 + 0,15·1260 = 240 + 189 = 429 тыс. рублей

Ответ: 429 тыс. рублей

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 38

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.