При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Источник: mathege

Решение:

    Пусть пациент имеет заболевание с вероятностью х, тогда не имеет это заболевание с вероятностью 1 – х.
    Положительный результат анализа может быть в 2-х случаях:
    1) Пациент имеет заболевание и получает положительный результат, вероятность этого события (86% = 0,86):

х·0,86

    2) Пациент не имеет это заболевание, тест дал ложный результат, вероятность (94% = 0,94):

(1 – х)·(1 – 0,94)

    Зная, что тест в среднем оказывается положительным у 10% = 0,1 пациентов, составим уравнение:

х·0,86 + (1 – х)·(1 – 0,94) = 0,1
х·0,86 + (1 – х)·0,06 = 0,1
х·0,86 + 0,06 – 0,06х = 0,1
х·0,80 = 0,1 – 0,06  
х·0,8 = 0,04

Ответ: 0,05.

Задача похожа на задачу про гепатит.