Решение и ответы заданий демонстрационного варианта Проекта ЕГЭ 2025 по математике (профильный уровень). Демовариант от ФИПИ для 11 класса профиль. КИМ.
Задания №14,17,18,19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
ИЛИ
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E – середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
ИЛИ
В треугольнике ABC стороны AC и ВC равны, угол C равен 134°, угол CBD – внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.
ИЛИ
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.
ИЛИ
Даны векторы \overrightarrow{a}(25; 0) и \overrightarrow{b}(1; 5). Найдите длину вектора \overrightarrow{a} – 4\overrightarrow{b}.
Задание 3.
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
ИЛИ
Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
ИЛИ
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \frac{1}{3} высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Задание 4.
В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
ИЛИ
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Задание 5.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?
ИЛИ
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Задание 6.
Найдите корень уравнения 4^{x-7}=\frac{1}{64}.
ИЛИ
Найдите корень уравнения \sqrt{3x+49}=10.
ИЛИ
Найдите корень уравнения log8 (5x + 47) = 3
ИЛИ
Решите уравнение \sqrt{2x+3}=x. Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
Задание 7.
Найдите значение выражения 3cos2α, если sinα = 0,2.
ИЛИ
Найдите значение выражения \frac{log_{9}28}{log_{9}7}+log_{7}\frac{7}{4}.
ИЛИ
Найдите значение выражения 252√8+3·5–3–4√8.
Задание 8.
На рисунке изображён график y = f‘(x) производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
ИЛИ
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Задание 9.
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v)=\frac{f_{0}}{1–\frac{v}{c}}, где c – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ выразите в м/с.
Задание 10.
Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
ИЛИ
Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?
ИЛИ
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
Задание 11.
На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции
y = 9x – 9ln(x + 11) + 7
на отрезке [–10,5 ; 0].
ИЛИ
Найдите точку максимума функции y = (x + 8)2 ∙ e3–x
ИЛИ
Найдите точку минимума функции y=–\frac{x}{x^{2}+256}.
Задание 13.
а) Решите уравнение
2sin3x = √2cos2x + 2sinx
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; -\frac{5\pi}{2}].
Задание 14.
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N – середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость αперпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC = 3.
Задание 15.
Решите неравенство \frac{log_{2}(2-x)-log_{2}(x+1)}{log_{2}^{2}x^{2}+log_{2}x^{4}+1}\ge 0.
Задание 16.
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Задание 17.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4.
а) Докажите, что AC = CE.
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.
Задание 18.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases} (x^{2}-5x-y+3)\cdot \sqrt{x-y+3}=0, \\ y= 3x+a\end{cases}
имеет ровно два различных решения.
Задание 19.
Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b) .
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
Источник варианта: fipi.ru