В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Источник: fipi
Решение:
S = 800 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% = r% = \frac{r}{100} = k;
x – величина на которую уменьшается долг первые 5 лет;
у – величина на которую уменьшается долг следующие 5 лет;
S = 5x + 5y = 800 тыс. рублей;
Сумма всех платежей = 1480 тыс. рублей.
| Год | Долг начальный | % (январь) | Платёж (x или y + %) (февраль – июнь) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 2026 | 5x + 5y | – | – | – |
| 2027 | 5x + 5y | 5x + 5y + k·(5x + 5y) | x + k·(5x + 5y) | 5x + 5y + k·(5x + 5y) – (x + k·(5x + 5y)) = 4x + 5y |
| 2028 | 4x + 5y | 4x + 5y + k·(4x + 5y) | x + k·(4x + 5y) | 4x + 5y + k·(4x + 5y) – (x + k·(4x + 5y)) = 3x + 5y |
| 2029 | 3x + 5y | 3x + 5y + k·(3x + 5y) | x + k·(3x + 5y) | 3x + 5y + k·(3x + 5y) – (x + k·(3x + 5y)) = 2x + 5y |
| 2030 | 2x + 5y | 2x + 5y + k·(2x + 5y) | x + k·(2x + 5y) | 2x + 5y + k·(2x + 5y) – (x + k·(2x + 5y)) = x + 5y |
| 2031 | x + 5y | x + 5y + k·(x + 5y) | x + k·(x + 5y) | x + 5y + k·(x + 5y) – (x + k·(x + 5y)) = 5y |
| 2032 | 5y | 5y + k·5y | y + k·5y | 5y + k·5y – (y + k·5y) = 4y |
| 2033 | 4y | 4y + k·4y | y + k·4y | 4y + k·4y – (y + k·4y) = 3y |
| 2034 | 3y | 3y + k·3y | y + k·3y | 3y + k·3y – (y + k·3y) = 2y |
| 2035 | 2y | 2y + k·2y | y + k·2y | 2y + k·2y – (y + k·2y) = y |
| 2036 | y | y + k·y | y + k·y | y + k·y – (y + k·y) = 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
x + k·(5x + 5y) + x + k·(4x + 5y) + x + k·(3x + 5y) + x + k·(2x + 5y) + x + k·(x + 5y) + y + k·5y + y + k·4y + y + k·3y + y + k·2y + y + k·y = 5x + 5y + k·(5x + 5y + 4x + 5y + 3x + 5y + 2x + 5y + x + 5y + 5y + 4y + 3y + 2y + y) = 5x + 5y + k·(15x + 40y)
По условию сумма всех платежей равна 1480 тыс. рублей:
5x + 5y + k·(15x + 40y) = 1480
Знаем, что 5x + 5y = 800, подставим и получим:
5x + 5y + k·(15x + 40y) = 1480
800 + k·(3·(5x + 5y) + 25y) = 1480
800 + k·(3·800 + 25y) = 1480
k·(3·800 + 25y) = 1480 – 800
k·(3·800 + 25y) = 680
k·(3·800 + 5·5y) = 680
По условию, долг (5y) в конце 2031 года равен 200 тыс. рублей, подставим:
k·(3·800 + 5·5y) = 680
k·(3·800 + 5·200) = 680
k·3400 = 680
k = 680/3400
k = 0,2
Найдём r:
k = \frac{r}{100}
0,2 = \frac{r}{100}
r = 0,2·100
r = 20%
Ответ: 20%.