В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 54040 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: statgrad
Решение:
% = 20% = 0,20
3x – S = 54040 руб. – общая сумма платежей больше суммы взятой в кредит;
x руб. – платёж в каждое из 3 лет;
S тыс. руб. – сумма взятая в кредит в банке;
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,2 | x | 1,2S – x |
| 2 | (1,2S – x)·1,2 | x | (1,2S – x)·1,2 – x |
| 3 | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 | x | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0
(1,22S – 1,2x – x)·1,2 – x = 0
1,23S – 1,22x – 1,2x – x = 0
\frac{6}{5}3S – \frac{6}{5}2x – \frac{6}{5}x – x = 0
\frac{216}{125}S – \frac{36}{25}x – \frac{6}{5}x – x = 0
\frac{216}{125}S – \frac{91}{25}x = 0
Выразим S:
3x – S = 54040
–S = 54040 – 3x
S = –54040 + 3x
S = 3x – 54040
Подставим значение S:
\frac{216}{125}(3x – 54040) – \frac{91}{25}x = 0
\frac{216·3}{125}x – \frac{216·54040}{125} – \frac{91}{25}x= 0\:{\color{Blue} |\cdot 125} \\216·3x – 216·54040 – 91\cdot 5x= 0\\648x – 455x= 216·54040\\193x= 216·54040\\x= 216·280\\x=60 480
Найдём S:
S = 3x – 54040 = 3·60480 – 54040 = 127400 рублей
Ответ: 127400 руб.