В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению c концом предыдущего года;
– c февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей.
Какую сумму (в рубляx) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Источник: Ященко ЕГЭп 2025 (36 вар.)
Решение:
% = 25% = 0,25
312,5 тыс. руб. – платежи в 2027, 2028, 2029 и 2030 годах
х – долг на начало 2026 года
| Год | 100%+25%=125% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 2026 | х | ||
| 2027 | х·1,25 | 312,5 | 1,25х – 312,5 |
| 2028 | (1,25х – 312,5)·1,25 = 1,252·х – 312,5·1,25 | 312,5 | 1,252·х – 312,5·1,25 – 312 |
| 2029 | (1,252·х – 312,5·1,25 – 312,5)·1,25 = 1,253·х – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 | 312,5 | 1,253·х – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 – 312,5 |
| 2030 | (1,253·х – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 – 312,5)·1,25 = 1,254·х – 312,5·1,253 – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 | 312,5 | 1,254·х – 312,5·1,253 – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 – 312,5 = 0 |
Зная, что в 2030 году долг был погашен полностью, получим уравнение:
1,254·х – 312,5·1,253 – 312,5·1,252 – 312,5·1,25 – 312,5 = 0
1,254·х – 312,5·(1,253 + 1,252 + 1,25 + 1) = 0
\color{Blue} 1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}
(\frac{5}{4})^{4}\cdot x-312,5\cdot ((\frac{5}{4})^{3}+(\frac{5}{4})^{2}+\frac{5}{4}+\frac{4}{4})=0\\\frac{625}{256}\cdot x-312,5\cdot (\frac{125}{64}+\frac{25}{16}+\frac{5}{4}+\frac{4}{4})=0\\\frac{625}{256}\cdot x-312,5\cdot (\frac{125\cdot 1+25\cdot 4+5\cdot 16+4\cdot 16}{64})=0\\\frac{625}{256}\cdot x-312,5\cdot \frac{369}{64}=0\:{\color{Blue} |\cdot 256}\\625x-312,5\cdot 369\cdot 4=0\\625x=312,5\cdot 369\cdot 4\\625x=1250\cdot 369\:{\color{Blue} |: 625}\\x=2\cdot 369=738\:тыс.\:руб.
Ответ: 738 тыс. рублей.