В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению c концом предыдущего года;
– c февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.
Какую сумму (в рубляx) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Источник: Ященко ЕГЭп 2025 (36 вар.)
Решение:
% = 20% = 0,2
324 тыс. руб. – платежи в 2027, 2028, 2029 и 2030 годах
х – долг на начало 2026 года
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 2026 | х | ||
| 2027 | х·1,2 | 324 | 1,2х – 324 |
| 2028 | (1,2х – 324)·1,2 = 1,22·х – 324·1,2 | 324 | 1,22·х – 324·1,2 – 324 |
| 2029 | (1,22·х – 324·1,2 – 324)·1,2 = 1,23·х – 324·1,22 – 324·1,2 | 324 | 1,23·х – 324·1,22 – 324·1,2 – 324 |
| 2030 | (1,23·х – 324·1,22 – 324·1,2 – 324)·1,2 = 1,24·х – 324·1,23 – 324·1,22 – 324·1,2 | 324 | 1,24·х – 324·1,23 – 324·1,22 – 324·1,2 – 324 = 0 |
Зная, что в 2030 году долг был погашен полностью, получим уравнение:
1,24·х – 324·1,23 – 324·1,22 – 324·1,2 – 324 = 0
1,24·х – 324·(1,23 + 1,22 + 1,2 + 1) = 0
\color{Blue} 1,2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}
(\frac{6}{5})^{4}\cdot x-324\cdot ((\frac{6}{5})^{3}+(\frac{6}{5})^{2}+\frac{6}{5}+\frac{6}{5})=0\\\frac{1296}{625}\cdot x-324\cdot (\frac{216}{125}+\frac{36}{25}+\frac{6}{5}+\frac{5}{5})=0\\\frac{1296}{625}\cdot x-324\cdot (\frac{216\cdot 1+36\cdot 5+6\cdot 25+5\cdot 25}{125})=0\\\frac{1296}{625}\cdot x-324\cdot \frac{671}{125}=0\:{\color{Blue} |\cdot 625}\\1296x-324\cdot 671\cdot 5=0\\1296x=324\cdot 671\cdot 5\\x=\frac{324\cdot 671\cdot 5}{1296}=838,75\:тыс.\:руб.
Ответ: 838 750 тыс. рублей.