В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 1260 тыс рублей;
– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.
Источник: Основная волна ЕГЭп 2024
Решение:
% = 10% = 0,1
S = 1260 тыс. руб. – сумма взятая в кредит в банке;
В 2027, 2028 и 2029 годах долг остается равным 1260 тыс. рублей, т.е. равен S, значит эти 3 года выплачиваются только проценты;
x руб. – платежи в 2030 и 2031 годах;
| Год | 100%+10%=110% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 2026 | S | ||
| 2027 | S·1,1 | S·0,1 | S·1,1 – S·0,1 = S |
| 2028 | S·1,1 | S·0,1 | S·1,1 – S·0,1 = S |
| 2029 | S·1,1 | S·0,1 | S·1,1 – S·0,1 = S |
| 2030 | S·1,1 | x | S·1,1 – x |
| 2031 | (S·1,1 – x)·1,1 | x | (S·1,1 – x)·1,1 – x = 0 |
Найдём платежи за каждый из первых 3-х лет:
S·0,1 = 1260000·0,1 = 126000 руб.
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, найдём платежи за каждый из последних 2-х лет:
(S·1,1 – x)·1,1 – x = 0
S·1,12 – x·1,1 – x = 0
S·1,12 – x·1,1 – x = 0
{\color{Blue} 1,1=1\frac{1}{10}=\frac{11}{10}}\\S·(\frac{11}{10})^{2} – x·\frac{11}{10} – x = 0\\S·\frac{121}{100} – x·\frac{21}{10}= 0\\1260000·\frac{121}{100} – x·\frac{21}{10}= 0\\12600·121 – x·\frac{21}{10}= 0\:{\color{Blue} |\cdot 10}\\126000·121 – x·21= 0\\126000·121 = x·21\\x=\frac{126000·121}{21}\\x=726000\:\:руб.
Найдём общую сумму платежей за пять лет:
3·126000 + 2·726000 = 1830000 руб.
Ответ: 1 830 000 рублей.