В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит 311 040 рублей?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2024
Решение:
% = 20% = 0,2
S – сумма взятая в кредит в банке;
4х = 311040 руб. общая сумма платежей за 4 года;
x = 311040/4 = 77 760 руб. – платежи в каждый из 4-х лет;
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,2 | x | 1,2S – x |
| 2 | (1,2S – x)·1,2 | x | (1,2S – x)·1,2 – x |
| 3 | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 | x | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x |
| 4 | (((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 | x | (((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0 |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
(((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0
1,24·S – x·1,23 – x·1,22 – x·1,2 – x = 0
1,24·S – x·(1,23 + 1,22 + 1,2 + 1) = 0
1,24·S = x·(1,23 + 1,22 + 1,2 + 1)
{\color{Blue} 1,2=1\frac{2}{10}=1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}}\\(\frac{6}{5})^{4}\cdot S=x\cdot ((\frac{6}{5})^{3}+(\frac{6}{5})^{2}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot (\frac{216}{125}+\frac{36}{25}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot \frac{216\cdot 1+36\cdot 5+6\cdot 25+1\cdot 125}{125}\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot \frac{671}{125}\:{\color{Blue} |\cdot 125}\\\frac{1296}{5}\cdot S=x\cdot 671
Подставим значение x = 77 760 руб.:
\frac{1296}{5}\cdot S=77 760\cdot 671\:{\color{Blue} |: 1296}\\\frac{1}{5}\cdot S=60\cdot 671\:{\color{Blue} |\cdot 5} \\S=60\cdot 671\cdot 5=201300
Ответ: 201 300 рублей.