В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2024
Решение:
% = 25% = 0,25
S – сумма взятая в кредит в банке
x руб. – платежив каждый из 3-х лет
3x – S = 104 800 руб.
S = 3x – 104 800
| Год | 100%+25%=125% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,25 | x | 1,25S – x |
| 2 | (1,25S – x)·1,25 | x | (1,25S – x)·1,25 – x |
| 3 | ((1,25S – x)·1,25 – x)·1,25 | x | ((1,25S – x)·1,25 – x)·1,25 – x = 0 |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
((1,25S – x)·1,25 – x)·1,25 – x = 0
1,253·S – x·1,252 – x·1,25– x = 0
1,253·S – x·(1,252 + 1,25 + 1) = 0
1,253·S = x·(1,252 + 1,25 +1)
{\color{Blue} 1,25=1\frac{25}{100}=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}}\\(\frac{5}{4})^{3}\cdot S=x\cdot ((\frac{5}{4})^{2}+\frac{5}{4}+1)\\\frac{125}{64}\cdot S=x\cdot (\frac{25}{16}+\frac{5}{4}+1)\\\frac{125}{64}\cdot S=x\cdot \frac{25\cdot 1+5\cdot 4+1\cdot 16}{16}\\\frac{125}{64}\cdot S=x\cdot \frac{61}{16}\:{\color{Blue} |\cdot 16}\\\frac{125}{4}\cdot S=x\cdot 61
Подставим значение S = 3x – 104 800:
\frac{125}{4}\cdot (3x-104800)=x\cdot 61\:{\color{Blue} |\cdot 4} \\125\cdot (3x-104800)=x\cdot 244\\375x-13100000=244x\\375x-244x=13100000\\131x=13100000\\x=\frac{13100000}{131}\\x=100000
Платёж каждый год был равен 100 000 рублей, найдём сколько всего было выплачено банку за 3 года:
3·100000 = 300 000 рублей
Ответ: 300 000 рублей.