В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2024
Решение:
% = 40% = 0,4
S = 545 000 руб. – сумма взятая в кредит в банке
x руб. – платежи в каждый из 3-х лет
| Год | 100%+40%=140% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,4 | x | 1,4S – x |
| 2 | (1,4S – x)·1,4 | x | (1,4S – x)·1,4 – x |
| 3 | ((1,4S – x)·1,4 – x)·1,4 | x | ((1,4S – x)·1,4 – x)·1,4 – x = 0 |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
((1,4S – x)·1,4 – x)·1,4 – x = 0
1,43·S – x·1,42 – x·1,4– x = 0
1,43·S – x·(1,42 + 1,4 + 1) = 0
1,43·S = x·(1,42 + 1,4 +1)
{\color{Blue} 1,4=1\frac{4}{10}=1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}}\\(\frac{7}{5})^{3}\cdot S=x\cdot ((\frac{7}{5})^{2}+\frac{7}{5}+1)\\\frac{343}{125}\cdot S=x\cdot (\frac{49}{25}+\frac{7}{5}+1)\\\frac{343}{125}\cdot S=x\cdot \frac{49\cdot 1+7\cdot 5+1\cdot 25}{25}\\\frac{343}{125}\cdot S=x\cdot \frac{109}{25}\:{\color{Blue} |\cdot 25}\\\frac{343}{5}\cdot S=x\cdot 109
Подставим значение S = 545 000 руб.:
\frac{343}{5}\cdot 545000=x\cdot 109\\343\cdot 109000=x\cdot 109\:{\color{Blue} |: 109}\\343\cdot 1000=x\\x=343000
Платёж каждый год был равен 343 000 рублей, найдём сколько всего было выплачено банку за 3 года:
3·343000 = 1 029 000 рублей
Ответ: 1 029 000 рублей.