В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2024
Решение:
% = 20% = 0,2
S = 419 375 руб. – сумма взятая в кредит в банке
x руб. – платежи в каждый из 4-х лет
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,2 | x | 1,2S – x |
| 2 | (1,2S – x)·1,2 | x | (1,2S – x)·1,2 – x |
| 3 | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 | x | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x |
| 4 | (((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 | x | (((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0 |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
(((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0
1,24·S – x·1,23 – x·1,22 – x·1,2 – x = 0
1,24·S – x·(1,23 + 1,22 + 1,2 + 1) = 0
1,24·S = x·(1,23 + 1,22 + 1,2 + 1)
{\color{Blue} 1,2=1\frac{2}{10}=1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}}\\(\frac{6}{5})^{4}\cdot S=x\cdot ((\frac{6}{5})^{3}+(\frac{6}{5})^{2}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot (\frac{216}{125}+\frac{36}{25}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot \frac{216\cdot 1+36\cdot 5+6\cdot 25+1\cdot 125}{125}\\\frac{1296}{625}\cdot S=x\cdot \frac{671}{125}\:{\color{Blue} |\cdot 125}\\\frac{1296}{5}\cdot S=x\cdot 671
Подставим значение S = 419 375 руб.:
\frac{1296}{5}\cdot 419 375=x\cdot 671\\1296\cdot 83875=x\cdot 671\:{\color{Blue} |: 671}\\1296\cdot 125=x\\x=162000
Платёж каждый год был равен 162 000 рублей, найдём сколько всего было выплачено банку за 4 года:
4·162000 = 648000 рублей
Ответ: 648 000 рублей.