Решение и ответы заданий варианта МА2310209 СтатГрад 13 декабря 2023 года ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень). Тренировочная работа №2. ГДЗ профиль для 11 класса.
Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания тренировочного экзамена в учебных целях.
Задания №14,17,18,19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Сумма двух углов параллелограмма равна 46°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Задание 2.
Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 3√5 и 4√10, а угол между ними равен 45°. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.
Задание 3.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, E, F, B1, C1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.
Задание 4.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до сотых.
Задание 5.
Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30 % этих стёкол, вторая – 70 %. Первая фабрика выпускает 5 % бракованных стёкол, а вторая – 4 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло для автомобильной фары окажется бракованным.
Задание 6.
Решите уравнение \sqrt{7x+18}=x. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Задание 7.
Найдите значение выражения \frac{5(m^{5})^{6}+13(m^{3})^{10}}{(2m^{15})^{2}} при m = \frac{5}{13}.
Задание 8.
На рисунке изображён график функции y = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (−9; 4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x − 9 или совпадает с ней.
Задание 9.
Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. рублей за единицу) задаётся формулой q = 70 − 2p. Выручка предприятия r (в тыс. рублей за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q⋅p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. рублей. Ответ дайте в тысячах рублей за единицу.
Задание 10.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 17 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = ax2 + bx + c. Найдите значение f(2).
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции y = 13cosx − 17x + 6 на отрезке [-\frac{3\pi}{2};0].
Задание 13.
а) Решите уравнение 4sin 2x − 4√3sin x + 12cos x − 6√3 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4\pi;-\frac{5\pi}{2}].
Задание 14.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL:LB = SN:NC = 1:4. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Задание 15.
Решите неравенство \frac{x^{3}-27}{|x-3|}-x|x-3|\ge 0.
Задание 16.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Задание 17.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD.
б) Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB, если BC = 17, AD = 31.
Задание 18.
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
3a(a – 2) – (a – 2)(2x+2 + 2) ≤ (x2 – 4x)(2x+2 + 2) – 3ax2 + 12ax
имеет решения на промежутке (0; 1].
Задание 19.
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй – 94, в третьей – 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй – 94, в третьей – 95, а в четвёртой – 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Источник варианта: СтатГрад/statgrad.org.