Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй – 102, в третьей – 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 102, в третье – 103, а в четвёртой – 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2022
Решение:
На каждом ходе происходит следующее, в трёх коробках по –1 камню, в одной коробке +3 камня.
а) Да, могло. Например:
| 1 коробка | 2 коробка | 3 коробка | 4 коробка |
| 101 | 102 | 103 | 0 |
| –1 | –1 | –1 | +3 |
| 100 | 101 | 102 | 3 |
| –1 | –1 | –1 | +3 |
| 99 | 100 | 101 | 6 |
| –1 | +3 | –1 | –1 |
| 98 | 103 | 100 | 5 |
| –1 | –1 | +3 | –1 |
| 97 | 102 | 103 | 4 |
б) Нет, не могло. Если в четвёртой коробке 306 камней, то во всех остальных коробках по 0 камней, т.к. изначально всего камней в коробках было:
101 + 102 + 103 + 0 = 306
Заметим, что изначально в 1-й коробке чётное количество камней, а во 2-й коробке не чётное количество камней.
Возможные действия с камнями –1 и +3, с помощью них невозможно сделать в этих двух коробках количество камней одинаковой чётности, а значит и получить по 0 (чётное) камней в каждой коробке. Например:
101 (нечётное) – 1 = 100 (чётное)
102 (чётное) – 1 = 101 (нечётное)
разная чётность
101 (нечётное) – 1 = 100 (чётное)
102 (чётное) + 3 = 105 (нечётное)
разная чётность
101 (нечётное) + 3 = 98 (чётное)
102 (чётное) – 1 = 101 (нечётное)
разная чётность
в) Заметим, что изначальное количество камней в каждой коробке при делении на 4 дают следующие остатки:
\frac{101}{4}=25\frac{{\color{Blue} 1}}{4}\\\frac{102}{4}=25\frac{{\color{Blue} 2}}{4}\\\frac{103}{4}=25\frac{{\color{Blue} 3}}{4}\\\frac{0}{4}={\color{Blue} 0}
Получаем 4 разных остатка: 0, 1, 2 и 3. При выполнении ходов –1 и +3, у чисел будут всегда сохранятся эти же разные остатки.
Проверим это. Прибавим +3 к коробке, где остаток был 0, в остальных коробках –1, тогда остатки:
\frac{100}{4}=25\frac{{\color{Blue} 0}}{4}\\\frac{101}{4}=25\frac{{\color{Blue} 1}}{4}\\\frac{102}{4}=25\frac{{\color{Blue} 2}}{4}\\\frac{{\color{Blue}3}}{4}
Остатки разные. Прибавим +3 к коробке с остатком 1, в остальных коробках –1:
\frac{99}{4}=24\frac{{\color{Blue} 3}}{4}\\\frac{104}{4}=26\frac{{\color{Blue} 0}}{4}\\\frac{101}{4}=25\frac{{\color{Blue} 1}}{4}\\\frac{{\color{Blue}2}}{4}
Остатки разные. Прибавим +3 к коробке с остатком 2, в остальных коробках –1:
\frac{98}{4}=24\frac{{\color{Blue} 2}}{4}\\\frac{103}{4}=25\frac{{\color{Blue} 3}}{4}\\\frac{100}{4}=25\frac{{\color{Blue} 0}}{4}\\\frac{5}{4}=1\frac{{\color{Blue}1}}{4}
Остатки разные. Прибавим +3 к коробке с остатком 3, в остальных коробках –1:
\frac{97}{4}=24\frac{{\color{Blue} 1}}{4}\\\frac{106}{4}=26\frac{{\color{Blue} 2}}{4}\\\frac{99}{4}=24\frac{{\color{Blue} 3}}{4}\\\frac{4}{4}=1\frac{{\color{Blue}0}}{4}
Значит и когда будет наибольше число камней в первой коробке, должны быть такие же остатки.
Минимум 0 + 1 + 2 = 3 камня не попадут в первую коробку, тогда наибольшее число камней в первой коробке равно 303 в таком варианте:
303; 0; 1; 2
Получить этот вариант можно следующим образом:
1) Перекладывать по +3 камни в 4 коробку пока там не окажется на 1 камень больше чем в 3-й коробке: 75; 76; 77; 78
2) Перекладывать по +3 камни в 1 коробку пока там не окажется: 303; 0; 1; 2
Ответ: а) да, б) нет, в) 303.