Решение и ответы заданий Варианта №2 из сборника ЕГЭ 2025 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе профиль для 11 класса.
Задания №14,17,18,19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание.
Задание 1.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС провели биссектрису AF. Найдите угол AFB, если угол ABC равен 72°. Ответ дайте в градусах.
Задание 2.
Даны векторы \overrightarrow{a}(5; –6) , \overrightarrow{b}(–5; –9). Найдите длину вектора 2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}.
Задание 3.
Первая цилиндрическая кружка в два раза выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Задание 4.
В среднем из 800 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Задание 5.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,65. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится в обоих автоматах.
Задание 6.
Найдите корень уравнения \sqrt{5x}=2\frac{1}{2}x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Задание 7.
Найдите значение выражения loga (a3b14), если logb a = –2.
Задание 8.
На рисунке изображён график y = f′(x) − производной функции f(x), определённой на интервале (−1; 17). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [1; 15].
Задание 9.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m=m_{0}\cdot 2^{–\frac{t}{T}}, где m0 – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, Т – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.
Задание 10.
Баржа, скорость которой в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт баржа возвращается через 18 часов после отплытия из него. Сколько километров прошла баржа за весь рейс?
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = ax2 + bx + c. Найдите значение f(–3).
Задание 12.
Найдите точку минимума функции y = x2 + 14ln(x + 8) + 6.
Задание 13.
а) Решите уравнение \sqrt{4sin^{3}x-4cos^{2}x-cosx-sinx+3}=\sqrt{sin(x-\frac{\pi}{2})}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{9\pi}{2}; 6π].
Задание 14.
В пирамиде SABCD с высотой SA основанием является квадрат ABCD, точка К – середина ребра SB. Прямая DK пересекается с плоскостью ЅАС в точке N.
а) Докажите, что прямая а, проходящая через точку N параллельно прямой SС, делит ребро ЅА в отношении 1:2.
б) Найдите угол между прямыми DK и SC, если АВ = 2√2, ЅА = 3.
Задание 15.
Решите неравенство \frac{4^{x}-3\cdot 2^{x+1}+5}{log_{\frac{1}{5}}^{2}(3^{x}-2)-log_{\frac{1}{5}}(3^{x}-2)^{2}+1}\le 0.
Задание 16.
В июне 2028 года Иван Петрович планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2029, 2030, 2031 и 2032 годов необходимо выплатить только проценты по кредиту, начисленные в январе соответствующего года;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2033 и 2034 годов платежи по кредиту равные, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.
Задание 17.
В прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием CD и прямыми углами A и D вписана окружность с центром в точке О радиуса R. Точка G – точка касания данной окружности и стороны АВ трапеции ABCD. Биссектриса угла ADC перпендикулярна стороне ВС и пересекает её в точке N.
а) Докажите, что BG = (√2 – 1)R.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BNOG, если R = 6,
Задание 18.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Задание 19.
У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется k кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры то потребуется k + 3 кляссеров и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком – больше 100, но меньше 120 ячеек.
а) Может ли k быть равно 4?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
* Кляссер – альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2026. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.