В июне 2028 года Иван Петрович планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2029, 2030, 2031 и 2032 годов необходимо выплатить только проценты по кредиту, начисленные в январе соответствующего года;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2033 и 2034 годов платежи по кредиту равные, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.
Источник: Ященко ЕГЭп 2025 (36 вар.)
Решение:
% = 20% = 0,2
S млн. руб. – сумма взятая в кредит в банке;
В 2029, 2030, 2031 и 2032 годах долг остается равным S млн. рублей, выплачиваются только проценты;
x руб. – платежи в 2033 и 2034 годах;
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 2028 | S | ||
| 2029 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2030 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2031 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2032 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2033 | S·1,2 | x | S·1,2 – x |
| 2034 | (S·1,2 – x)·1,2 | x | (S·1,2 – x)·1,2 – x = 0 |
Выразим х из получившегося уравнения:
(S·1,2 – x)·1,2 – x = 0
S·1,2·1,2 – x·1,2 – x = 0
1,44·S – 2,2x = 0
1,44·S = 2,2x
x=\frac{1,44S}{2,2}\\x=\frac{144S}{220}\\x=\frac{36S}{55}
Сложим все выплаты по кредиту:
S·0,2 + S·0,2 + S·0,2 + S·0,2 + x + x = 0,8S + 2x
Сумма всех выплат должна привысить 12 млн. рублей:
0,8S + 2x < 12
Подставим в неравенство значение х найденное ранее:
0,8S+2\cdot \frac{36S}{55}\gt 12\:{\color{Blue} |: 4}\\0,2S+\frac{18S}{55}\gt 3\:{\color{Blue} |\cdot 55}\\11S+18S\gt 165\\29S\gt 165\\S\gt \frac{165}{29}\\S\gt 5\frac{20}{29}
Наименьший размер кредита S, выраженный целым числом, равен 6 млн рублей.
Ответ: 6 млн. рублей.