В январе 2028 года Михаил планирует открыть вклад на 3 года на целое число миллионов рублей, а в январе 2029 и 2030 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 1 млн рублей. Банк предложил Михаилу два варианта условий по вкладу. В обоих вариантах условий в декабре каждого года действия вклада начисляются проценты на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.
По первому варианту процентная ставка по годам составляет 10, 15 и 20 процентов соответственно, а по второму – 20, 15 и 10 процентов.
Михаил выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите наименьший первоначальный взнос по вкладу, если при закрытии вклада через 3 года итоговая сумма должна составить не менее 11,5 млн рублей. Ответ дайте в миллионах рублей.
Источник: Ященко ЕГЭп 2026 (36 вар.)
Решение:
Обозначим первоночальный вклад S целое число млн. рублей. Составим выражения для расчета изменения суммы вклада за 3 года для каждого варианта:
1-й вариант:
((S\cdot 1,1+1)\cdot 1,15+1)\cdot 1,2=((S\cdot \frac{11}{10}+1)\cdot \frac{23}{20}+1)\cdot \frac{6}{5}=S\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}
2-й вариант:
((S\cdot 1,2+1)\cdot 1,15+1)\cdot 1,1=((S\cdot \frac{6}{5}+1)\cdot \frac{23}{20}+1)\cdot \frac{11}{10}=S\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{11}{10}+1\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{11}{10}+1\cdot \frac{11}{10}
В обоих вариантах первое слагаемое равное, а два других больше в 1-м варианте, т.к. \frac{6}{5}\gt \frac{11}{10}, значит 1-й вариант наиболее выгодный, упрощаем выражение:
S\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{23}{20}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}=S\cdot \frac{11\cdot 23\cdot 3}{5\cdot 20\cdot 5}+\frac{23\cdot 6}{20\cdot 5}+\frac{6}{5}=S\cdot \frac{759}{500}+\frac{23\cdot 6\cdot 1+6\cdot 20}{100}=S\cdot \frac{759}{500}+\frac{23\cdot 6\cdot 1+6\cdot 20}{100}=S\cdot \frac{759}{500}+\frac{258}{100}
Итоговая сумма должна составить не менее 11,5 млн. рублей:
S\cdot \frac{759}{500}+\frac{258}{100}\ge 11,5\:{\color{Blue} |\cdot 500} \\759S+5\cdot 258\ge 5750\\ 759S+1290\ge 5750\\759S\ge 5750-1290\\759S\ge 4460\\S\ge \frac{4460}{759}\\S\ge 5\frac{665}{759}
S – целое число млн. рублей, значит наименьший первоночальный взнос по вкладу равен 6 млн. рублей.
Ответ: 6 млн. рублей.