В январе 2028 года Елена планирует открыть вклад на 4 года на целое число миллионов рублей, а в январе 2029, 2030 и 2031 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 1 млн рублей. Банк предложил Елене два варианта условий по вкладу. В обоих вариантах условий в декабре каждого года действия вклада начисляются проценты на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.
По первому варианту процентная ставка по годам составляет 10, 10, 20 и 20 процентов соответственно, а по второму – 20, 20, 10 и 10 процентов.
Елена выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите наименьший первоначальный взнос по вкладу, если при закрытии вклада через 4 года итоговая сумма должна составить не менее 11 млн рублей. Ответ дайте в миллионах рублей.
Источник: Ященко ЕГЭп 2026 (36 вар.)
Решение:
Обозначим первоночальный вклад S целое число млн. рублей. Составим выражения для расчета изменения суммы вклада за 4 года для каждого варианта:
1-й вариант:
(((S\cdot 1,1+1)\cdot 1,1+1)\cdot 1,2+1)\cdot 1,2=(((S\cdot \frac{11}{10}+1)\cdot \frac{11}{10}+1)\cdot \frac{6}{5}+1)\cdot \frac{6}{5}=S\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}
2-й вариант:
(((S\cdot 1,2+1)\cdot 1,2+1)\cdot 1,1+1)\cdot 1,1=(((S\cdot \frac{6}{5}+1)\cdot \frac{6}{5}+1)\cdot \frac{11}{10}+1)\cdot \frac{11}{10}=S\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{11}{10}+1\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{11}{10}+1\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{11}{10}+1\cdot \frac{11}{10}
В обоих вариантах первое слагаемое равное, а три других больше в 1-м варианте, т.к. \frac{6}{5}\gt \frac{11}{10}, значит 1-й вариант наиболее выгодный, упрощаем выражение:
S\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}+1\cdot \frac{6}{5}=S\cdot \frac{11\cdot 11\cdot 3\cdot 3}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}+\frac{11\cdot 3\cdot 6}{5\cdot 5\cdot 5}+\frac{36}{25}+\frac{6}{5}=S\cdot \frac{1089}{625}+\frac{198\cdot 1+36\cdot 5+6\cdot 25}{125}=S\cdot \frac{1089}{625}+\frac{528}{125}
Итоговая сумма должна составить не менее 11 млн. рублей:
S\cdot \frac{1089}{625}+\frac{528}{125}\ge 11\:{\color{Blue} |\cdot 625} \\1089\cdot S+2640\ge 6875\\1089\cdot S\ge 6875-2640\\1089\cdot S\ge 4235\\S\ge \frac{4235}{1089}\\S\ge 3\frac{968}{1089}
S – целое число млн. рублей, значит наименьший первоночальный взнос по вкладу равен 4 млн. рублей.
Ответ: 4 млн. рублей.