15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн 400 тыс. рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца из первых шести месяцев действия кредита долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– 1-го числа каждого месяца из последних шести месяцев действия кредита долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2 млн 691 тысяч рублей. Найдите r.
Источник: Ященко ЕГЭп 2026 (36 вар.)
Решение:
S = 2,4 млн. рублей, сумма взятого кредита;
% = 2% = 0,02
% = r% = \frac{r}{100}
\frac{1}{12}S – ежемесячное снижение долга;
| Месяц | Долг начальный | % | Платёж (\frac{1}{12}S + %) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) |
| 1 | S | 0,02·S | \frac{1}{12}S+0,02·S | \frac{11}{12}S |
| 2 | \frac{11}{12}S | 0,02·\frac{11}{12}S | \frac{1}{12}S+0,02·\frac{11}{12}S | \frac{10}{12}S |
| . . . | … | … | … | … |
| 11 | \frac{2}{12}S | \frac{r}{100}·\frac{2}{12}S | \frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·\frac{2}{12}S | \frac{1}{12}S |
| 12 | \frac{1}{12}S | \frac{r}{100}·\frac{1}{12}S | \frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·\frac{1}{12}S | 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
\frac{1}{12}S+0,02·S+\frac{1}{12}S+0,02·\frac{11}{12}S+…+\frac{1}{12}S+\frac{r}{100}\cdot \frac{2}{12}S+\frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·\frac{1}{12}S=S+0,02S\cdot (1+\frac{11}{12} +…+\frac{7}{12})+\frac{r}{100}S\cdot (\frac{6}{12}+…+\frac{2}{12}+\frac{1}{12})=S+0,02S\cdot\frac{57}{12}+\frac{r}{100}S\cdot \frac{21}{12}=S\cdot (1+0,02\cdot \frac{57}{12}+\frac{r}{100}\cdot \frac{21}{12})
Подставим сумму взятого кредита и сумму всех выплат:
2,4\cdot (1+0,02\cdot \frac{57}{12}+\frac{r}{100}\cdot \frac{21}{12})=2,691\:{\color{Blue} |\cdot 1200} \\2,4\cdot (1200+2\cdot 57+r\cdot 21)=3229,2\\2,4\cdot (1314+r\cdot 21)=3229,2\:{\color{Blue} |\cdot 10} \\24\cdot (1314+r\cdot 21)=32292\\31536+504r=32292\\504r=32292-31536\\504r=756\\5r=\frac{756}{504}\\r=1,5\%
Ответ: 1,5%.