Решение и ответы заданий варианта №1 из сборника ЕГЭ 2027 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 50 типовых экзаменационных вариантов. Профиль 11 класс.
Задания №15,18,19,20 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Часть 1
Задание 1.
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Задание 2.
Найдите квадрат длины вектора -\vec{a}-\vec{b}.
Задание 3.
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Диаметр основания и высота цилиндра равны 0,5. Найдите объём параллелепипеда.
Задание 4.
В классе 6 учащихся, среди них два друга – Михаил и Евгений. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Евгений окажутся в разных группах.
Задание 5.
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события (X ≤ 5,3).
Задание 6.
Вычислите математическое ожидание случайной величины X, если известно её распределение:
X\sim\begin{pmatrix}0&1&3&5&7\\0,2&0,25&0,15&0,1&0,3\end{pmatrix}.
Задание 7.
Найдите корень уравнения 43–x = 64.
Задание 8.
Найдите \frac{p(m)}{p(\frac{1}{m})}, если p(m)=(m+\frac{5}{m})(5m+\frac{1}{m}). При m ≠ 0.
Задание 9.
На рисунке изображён график y = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5;15). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих интервалу (–3;12).
Задание 10.
Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 500000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p – v) – f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300 000 руб.
Задание 11.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 12 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 15 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 8 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час? Ответ дайте в км/ч.
Задание 12.
На рисунке изображён график функции f(x) = asinx – b. Найдите b.
Задание 13.
В июле 2028 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1,1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1,1 млн рублей;
– выплаты в 2032 и 2033 годах равны;
– к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет. Ответ дайте в млн рублей.
Часть 2
Задание 14.
а) Решите уравнение (cos2x – 3sin2x)(sin 2x – √2·sin x) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}].
Задание 15.
Точка M лежит на ребре AA1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 и делит его в отношении AM:MA1 = 2:1. Плоскость α проходит через точки M, B1, D1 и пересекает ребро FF1 в точке P.
а) Докажите, что точка P – середина FF1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCDEF A1B1C1D1E1F1 плоскостью α, если AB = 2, AA1 = 8.
Задание 16.
Решите неравенство \frac{3}{x-4\sqrt{x+8}+12}\ge\frac{1}{x-5\sqrt{x+8}+14}.
Задание 17.
На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки v меньше скорости течения реки u.
При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой
L=H\cdot \frac{u + v cosα}{v sinα},
где H – ширина реки, α – угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если H = 60 м, u = 2 м/с и v = 1 м/с.
Задание 18.
Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC можно вписать в окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника KBC, равен 26, а \cos\angle BAC=\frac{5}{13}.
Задание 19.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства
\frac{x-5}{ax^2-(a^2+4)x+4a}\ge0
является луч.
Задание 20.
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 8, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 116 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 23, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1255?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2027. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 50 вариантов.