В июле 2028 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1,1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1,1 млн рублей;
– выплаты в 2032 и 2033 годах равны;
– к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет. Ответ дайте в млн рублей.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (50 вариантов)
Решение:
% = 20% = 0,2
S = 1,1 млн руб. – сумма взятая в кредит в банке;
В 2029, 2030 и 2021 годах долг остается равным 1,1 млн рублей, т.е. равен S, значит эти 3 года выплачиваются только проценты;
x руб. – платежи в 2032 и 2033 годах;
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 2026 | S | ||
| 2027 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2028 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2029 | S·1,2 | S·0,2 | S·1,2 – S·0,2 = S |
| 2030 | S·1,2 | x | S·1,2 – x |
| 2031 | (S·1,2 – x)·1,2 | x | (S·1,2 – x)·1,2 – x = 0 |
Найдём платежи за каждый из первых 3-х лет:
S·0,2 = 1,1·0,2 = 0,22 млн руб.
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, найдём платежи за каждый из последних 2-х лет:
(S·1,2 – x)·1,2 – x = 0
S·1,22 – x·1,2 – x = 0
{\color{Blue} 1,2=1\frac{2}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}}\\S·(\frac{6}{5})^{2}-x·\frac{6}{5}-x = 0\\S·\frac{36}{25}-x·\frac{6}{5}= 0\\1,1·\frac{36}{25}-x·\frac{6}{5}= 0\:{\color{Blue} |\cdot 25} \\1,1·36-x·30= 0\\39,6-x·30= 0\\39,6= 30x\\x=\frac{39,6}{30}=1,32 млн руб.
Найдём общую сумму платежей за пять лет:
3·0,22 + 2·1,32 = 3,3 млн руб.
Ответ: 3,3 млн рублей.