Решение и ответы заданий Варианта №1 из сборника ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко 50 вариантов. К новой официальной демонстрационной версии. Создано разработчиками ЕГЭ. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задания №14, 17, 18, 19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sinA=\frac{7}{25}. Найдите AC.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} с целочисленными координатами. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.
Задание 3.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в куб. см.
Задание 4.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Задание 5.
Про случайную величину X известно, что EX = 4 и DX = 10. При помощи неравенства Чебышёва оцените вероятность события «X < −1 или X ≥ 9».
Задание 6.
Найдите корень уравнения \sqrt{57-7x}=6.
Задание 7.
Найдите значение выражения \frac{18sin174^{\circ}\cdot cos174^{\circ}}{sin348^{\circ}}.
Задание 8.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Задание 9.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности Tr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель – целое число от –2 до 2.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций – впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
R=\frac{5In+Op+3Tr+Q}{A}
Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.
Задание 10.
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = asinx + b. Найдите a.
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции y = 2x − ln(x + 4)2 на отрезке [−3,5; 0].
Задание 13.
а) Решите уравнение \frac{5sin^{2}(\pi+x)+3cos(\frac{\pi}{2}+x)}{5sin(\frac{\pi}{2}+x)-4}=0.
б) Найдите во корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{7\pi}{2};-2\pi].
Задание 14.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник АВСD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых ребер пирамиды SА = 21, SВ = 85, SD = 57.
а) Докажите, что плоскость SАС перпендикулярна плоскости оcнования пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SС и ВD.
Задание 15.
Решите неравенство log_{\sqrt{9+4x^{2}-12x}}(2x-3)^{4}+log_{2}4^{(2x-3)^{2}}\le 22.
Задание 16.
Вклад планируется открыть на три года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше 8 млн рублей.
Задание 17.
Точка Р лежит на стороне АС равностороннего треугольника АВС. Окружность с диаметром ВР пересекает стороны AB и ВС в точках М и N соответcтвенно. Хорды МF и NЕ параллельны прямой ВР. Отрезки FР и ЕР пересекают стороны АВ и ВС в точках Т и S соответственно.
а) Докажите, что треугольники АРТ и СSР подобны.
б) Найдите отношение, в котором точка Р делит отрезок АС, если площади треугольников АРТ и CSР относятся как 4 : 9.
Задание 18.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
\frac{2x^{3}-(a+20)x^{2}+2a(5+a)x-a^{3}}{\sqrt{10-x+a}}=0
имеет ровно одно решение.
Задание 19.
Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число А.
а) Может ли А равняться 99?
б) Может ли А равняться 1980?
в) Найдите все натуральные числа, кратные 3, для которых А = 22 158.
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2024. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов заданий. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ: И. В. Ященко, М. А. Волчкевич, О.А. Ворончигина, И. Р. Высоцкий, Р. К. Гордин, П.В. Семенов, О. Н. Косухин, Д. А. Федоровых, А. И. Суздальцев, А. Р. Рязановский, В.А. Смирнов, А.С. Трепалин, А.В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Д.Э. Шноль; под редакцией И.В. Ященко. Издательство «Экзамен».