Решение №1531 Про случайную величину X известно, что EX = 4 и DX = 10.

Про случайную величину X известно, что EX = 4 и DX = 10. При помощи неравенства Чебышёва оцените вероятность события «X < −1 или X ≥ 9».

Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)

Решение:

Неравенство Чебышева можно записать в виде:

$P(|X-EX|\ge \varepsilon)\le \frac{DX}{\varepsilon^{2}}$

Подставим значения из условия EX = 4 и DX = 10:

$P(|X-4|\ge \varepsilon)\le \frac{10}{\varepsilon^{2}}$

По условию X < −1 или X ≥ 9, подставим X = –1 и X = 9 в |Х – 4| = ε и найдём значение ε:

|Х – 4| = ε

X = –1

|–1 – 4| = ε
|–5| = ε
5 = ε

X = 9

|9 – 4| = ε
|5| = ε
5 = ε

Подставляем ε = 5 в неравенство Чебышева и находим искомую вероятность:

$P(|X-4|\ge 5)\le \frac{10}{5^{2}}\\{\color{Blue} \frac{10}{5^{2}}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0,4}\\P(|X-4|\ge 5)\le 0,4$

Ответ: 0,4.