С натуральным трёхзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр, и полученный результат делят на 3.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 300?
б) Может ли результатом выполнения операции быть число 151?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трёхзначных чисел от 100 до 600?
Источник: Основная волна ЕГЭп 2022
Решение:
Любое трёхзначное число abc, можно представить в виде:
abc = a·100 + b·10 + c
По условию производят следующую операцию, из числа вычитают сумму его цифр:
a·100 + b·10 + c – a – b – c = 99·a + 9·b = 9·(11а + b)
Затем к полученный результат делят на 3:
\frac{9·(11a + b)}{3}
а) Да, может.
\frac{9·(11a + b)}{3}=300\\3·(11a + b)=300\\11a + b=100
Например, если а = 9, b = 1, а с – любое:
11·9 + 1 = 100
99 + 1 = 100
100 = 100
Значит, исходное число было, например аbc = 910.
б) Нет, не может.
\frac{9·(11a + b)}{3}=151
Левая часть уравнения делится на 3, а правая часть уравнения 151 не делится на 3 (т.к. 1 + 5 + 1 = 7 не делится на 3). Значит результатом операции не может быть число 151.
в) Результат выполнения операции зависит от количества пар (a, b), а для всех трёхзначных чисел от 100 до 600 либо 1 ≤ a ≤ 5 (5 цифр), 0 ≤ b ≤ 9 (10 цифр), либо a = 6, b = 0 (ещё 1 результат), то существует:
5 · 10 + 1 = 51 результат операции
Докажем, что все эти результаты будут различными.
Пусть помимо пары (a1, b1) нашлась пара (a2, b2), причём (a1, b1) ≠ (a2, b2), а результаты операции равные:
\frac{9·(11a_{1} + b_{1})}{3}=\frac{9·(11a_{2} + b_{2})}{3}\\11a_{1} + b_{1}=11a_{2} + b_{2}\\11a_{1}-11a_{2}=b_{2}-b_{1}\\11\cdot (a_{1}-a_{2})=b_{2}-b_{1}
Левая часть уравнения делится на 11, значит и правая часть уравнения b2 – b1 тоже делится на 11. Тогда b2 – b1 = 0, значит b1 = b2, а значит и а1 = а2 иначе исходное равенство не будет выполнятся.
Получили противоречие с (a1, b1) ≠ (a2, b2).
Ответ: а) да, б) нет, в) 51.