Решение №2210 Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Решение:

    Пусть AC = 8, BD = 10. CH – высота трапеции.
    Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно диагонали BD:

    BCDE – параллелограмм, т.к. BD||CD по построению, BC||DE как основание и продолжение основания трапеции. Тогда противоположные стороны равны:

BD = CE = 10
BC = DE

    Cредняя линия трапеции равна полу сумме оснований, зная длину средней линии, найдём сумму оснований:

AD + BC = сред.лин.·2 = 3·2 = 6

    Сторона AE треугольника ΔАСE равна:

AE = AD + DE = AD + BC = 6

    В треугольнике ΔACE знаем все стороны, по формуле Герона найдём его площадь:

p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{8+10+6}{2}=12\\S_{\Delta ACE}=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{12\cdot (12-8)\cdot (12-10)\cdot (12-6)}=\sqrt{12\cdot 4\cdot 2\cdot 6}=\sqrt{12\cdot 4\cdot 12}=\sqrt{12^{2}\cdot 2^{2}}=12\cdot 2=24

    Площадь трапеции ABCD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH

    Площадь треугольника ΔACE можно так же найти по формуле:

S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH

    Получаем:

S_ΔABCD = S_ΔACE = 24

Ответ: 24.