Решение №2210 Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

Пусть AC = 10, BD = 8. CH – высота трапеции.
Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно диагонали BD:

BCDE – параллелограмм, т.к. BD||CD по построению, BC||DE как основание и продолжение основания трапеции. Тогда противоположные стороны равны:

BD = CE = 8
BC = DE

Cредняя линия трапеции равна полу сумме оснований, зная длину средней линии найдём сумму оснований:

BC + AD = 3·2 = 6

Сторона AE треугольника ΔАСE равна:

AE = AD + DE = AD + BC = 6

В треугольнике ΔACE знаем все стороны, по формуле Герона найдём его площадь:

$p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{10+8+6}{2}=12$

$S_{\Delta ACE}=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)}=\\=\sqrt{12\cdot 2\cdot 4\cdot 6}=\sqrt{12\cdot 12\cdot 4}=12\cdot 2=24$

Площадь трапеции ABCD находится по формуле:

$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (DE+AD)\cdot CH$

Площадь треугольника ΔACE можно так же найти по формуле:

$S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH$

Получаем:

S_ΔABCD = S_ΔACE = 24

Ответ: 24.