В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вариантов)
Решение:
Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, SABCD = 2·SABC
Площадь треугольника можно найти по двум формулам:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot r
ОК = 7 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC и AB.
Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и высотой треугольника АВС к стороне ВС.
Найдём высоту НР:
НР = ОР + ОН = 7 + 13 = 20
Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:
АК2 = АО2 – ОК2
АК2 = 252 – 72 = 576
АК = √576 = 24
Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:
АК = AL = 24
BL = BP = x
CP = CK = y
Отсюда стороны треугольника АВС равны:
АС = 24 + y
AB = 24 + x
BC = x + y
Площадь треугольника по второй формуле равна:
S_{\Delta}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r
Приравняем оба выражения для нахождения площади:
10·ВС = (24 + ВС)·7
10·ВС = 7·24 + 7ВС
10·ВС – 7·ВС = 7·24
3·ВС = 7·24 |:3
ВС = 7·8 = 56
Найдём площадь параллелограмма АВСD:
SABCD = 2·SABC = 2·10·BC = 20·56 = 1120
Ответ: 1120.