Решение №2252 Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

Пусть AC = 17, BD = 15. CH – высота трапеции.
Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно отрезку BD:

BCED – параллелограмм, т.к. BD||CЕ по построению, BC||DE как основание и продолжение основания трапеции. Тогда противоположные стороны равны:

BD = CE = 15
BC = DE

Cредняя линия трапеции равна полу сумме оснований, зная длину средней линии найдём сумму оснований:

AD + BC = 4·2 = 8

Сторона AE треугольника ΔАСE равна:

AE = AD + DE = AD + BC = 8

В треугольнике ΔACE знаем все стороны, по формуле Герона найдём его площадь:

$p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{17+15+8}{2}=\frac{40}{2}=20$

$S_{\Delta ACE}=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{20(20-17)(20-15)(20-8)}=\\=\sqrt{20\cdot 3\cdot 5\cdot 12}=\sqrt{4\cdot 5\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 4}=\sqrt{4^{2}\cdot 5^{2}\cdot 3^{2}}=4\cdot 5\cdot 3=\\=60$

Площадь трапеции ABCD находится по формуле:

$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (DE+AD)\cdot CH$

Площадь треугольника ΔACE можно так же найти по формуле:

$S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH$

Получаем:

$S_{ABCD}=S_{\Delta ACE}=60$

Ответ: 60.