Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку X. Докажите, что сумма площадей треугольников BXC и AXD равна половине площади параллелограмма.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (50 вар.)
Решение:
Проведём, через произвольную точку X, высоту параллелограмма MH, части которой XM и XH будут являться высотами треугольников:
Площадь параллелограмма ABCD находится следующим образом:
S_{ABCD}=AD\cdot MH
Выразим сумму площадей треугольников ΔBXC и ΔAXD:
S_{\Delta BXC}+S_{\Delta AXD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot XM+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot XH=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot XM+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot XH=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot (XM+XH)=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot MH=\frac{AD\cdot MH}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}
Что и требовалось доказать.