Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 50, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 60 и 52.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Расстояния от центра окружности О до хорд АВ и CD это перпендикуляры ОН и ОК соответственно:
Построим радиусы ОВ и ОА, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит АН = НВ.
Найдём НВ:
НВ = АВ/2 = 50/2 = 25
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{60^{2}+25^{2}}=\sqrt{3600+625}=\sqrt{4225}=65
Аналогично, построим радиусы OC, OD. Получаем равнобедренный ΔCOD с высотой и медианой ОК.
ΔОКC прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём KС:
KC=\sqrt{OC^{2}–KO^{2}}=\sqrt{65^{2}–52^{2}}=\sqrt{4225–2704}=\sqrt{1521}=39
Найдём длину хорды СD:
CD = KC·2 = 39·2 = 78
Ответ: 78.