Решение №6475 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 4:5:7.

Решение:

    Длины дуг относятся как 4:5:7. Значит и градусные меры дуг относятся как 4:5:7. 
    Пусть ‿АВ = 4х, AB = 18 (как меньшая сторона), ‿АС = 5х, ‿ВС = 7х. Вся окружность равна 360°. Найдём градусную меру ‿АВ:

‿АВ + ‿АС + ‿ВС = 360º
4х + 5х + 7х = 360º
16х = 360º
х = 360/16 = 22,5º
‿АВ = 4х = 4·22,5 = 90º

    Вписанный угол (∠С) всегда в два раза меньше градусной меры дуги на которую опирается:

∠С = ‿АВ/2 = 90/2 = 45º

    По теореме синусов найдём радиус (R) окружности:

2R=\frac{AB}{\sin \angle C}\\2R=\frac{18}{\sin 45^{\circ}}\\2R=\frac{18}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\2R=\frac{18\cdot 2}{\sqrt{2}}\:{\color{Blue} |: 2}\\R=\frac{18\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}

Ответ: 9√2.