Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 75, BC = 25, CF:DF = 7:3.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (50 вар.)
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 7:3, пусть СF = 7x, а DF = 3x, тогда:
СD = CF + DF = 7x + 3x = 10x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 7y
AE = 3y
AB = 10y
ΔBDC подобен ΔОFD по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
\frac{BC}{OF}=\frac{CD}{FD}\\\frac{25}{OF}=\frac{10x}{3x}\\\frac{25}{OF}=\frac{10}{3}\\OF=\frac{25\cdot 3}{10}=7,5
ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠BEO – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{EB}\\\frac{75}{OE}=\frac{10y}{7y}\\\frac{75}{OE}=\frac{10}{7}\\OE=\frac{75\cdot 7}{10}=52,5
Найдём EF:
EF = OF + OE = 7,5 + 52,5 = 60
Ответ: 60.