Решение №6476 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги

Решение:

    Длины дуг относятся как 3:5:16. Значит и градусные меры дуг относятся как 3:5:16. 
    Пусть ‿АВ = 3х, ‿АС = 5х, ‿ВС = 16х, ВС = 12 (как большая сторона). Вся окружность равна 360°. Найдём градусную меру ‿АВ:

‿АВ + ‿АС + ‿ВС = 360º
3х + 5х + 16х = 360º
24х = 360º
х = 360/24 = 15º
‿ВС = 16х = 16·15 = 240º

    Вписанный угол (∠А) всегда в два раза меньше градусной меры дуги на которую опирается:

∠А = ‿ВС/2 = 240º/2 = 120º

    По теореме синусов найдём радиус (R) окружности:

2R=\frac{BC}{\sin \angle A}\\2R=\frac{12}{\sin 120^{\circ}}\\2R=\frac{12}{\sin 60^{\circ}}\\2R=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\2R=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{3}}\:{\color{Blue} |: 2}\\R=\frac{12\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}

    По формуле приведения:

sin 120° = sin (180° − 60°) = sin 60°

    Значение sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} можно посмотреть в справочных материалах ОГЭ.

Ответ: 4√3.