Постройте график функции y = |4x + 1| – x2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
| y=|4x+1|-x^2=\begin{cases}+(4x+1)-x^2,&\text{если } 4x+1\ge0\\-(4x+1)-x^2,&\text{если } 4x+1<0\end{cases}=\begin{cases}-x^2+4x+1,&x\ge-\frac{1}{4}\quad{\color{Blue} (1)}\\-x^2-4x-1,&x<-\frac{1}{4}\quad{\color{Magenta} (2)}\end{cases} |
1) y=-x^2+4x+1,\quad x\ge-\frac{1}{4}
Парабола, ветви вниз.
Вершина:
x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2\\y_в=-(2)^2+4\cdot2+1=-4+8+1=5\\A(2;5)
| x | 0 | 1 | 3 | 4 |
| y | 1 | 4 | 4 | 1 |
2) y=-x^2-4x-1,\quad x<-\frac{1}{4}
Парабола, ветви вниз.
Вершина:
x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot(-1)}=\frac{4}{-2}=-2\\y_в=-(-2)^2-4\cdot(-2)-1=-4+8-1=3\\B(-2;3)
| x | –1 | –3 | –4 |
| y | 2 | 2 | –1 |
Точка склеивания парабол:
x=-\frac{1}{4}\\y=-\left(-\frac{1}{4}\right)^2+4\left(-\frac{1}{4}\right)+1=-\frac{1}{16}-1+1=-\frac{1}{16}\\C\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{16}\right)
y = m – прямая параллельная оси x или совпадающая с ней.
Прямая имеет с графиком 3 общие точки при m = 3 и m = -\frac{1}{16}.
Ответ: m = 3; m = -\frac{1}{16}.