Постройте график функции y = |6x + 1| – x2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
| y=|6x+1|-x^2=\begin{cases}+(6x+1)-x^2,&\text{если } 6x+1\ge0\\-(6x+1)-x^2,&\text{если } 6x+1<0\end{cases}=\begin{cases}-x^2+6x+1,&x\ge-\frac{1}{6}\quad{\color{Blue} (1)}\\-x^2-6x-1,&x<-\frac{1}{6}\quad{\color{Magenta} (2)}\end{cases} |
1) y=-x^2+6x+1,\quad x\ge-\frac{1}{6}
Парабола, ветви вниз.
Вершина:
x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3\\y_в=-(3)^2+6\cdot3+1=-9+18+1=10\\A(3;10)
| x | 0 | 1 | 4 | 5 |
| y | 1 | 6 | 9 | 6 |
2) y=-x^2-6x-1,\quad x<-\frac{1}{6}
Парабола, ветви вниз.
Вершина:
x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot(-1)}=\frac{6}{-2}=-3\\y_в=-(-3)^2-6\cdot(-3)-1=-9+18-1=8\\B(-3;8)
| x | –2 | –4 | –5 |
| y | 7 | 7 | 4 |
Точка склеивания парабол:
x=-\frac{1}{6}\\y=-\left(-\frac{1}{6}\right)^2+6\left(-\frac{1}{6}\right)+1=-\frac{1}{36}-1+1=-\frac{1}{36}\\C\left(-\frac{1}{6};-\frac{1}{36}\right)
y = m – прямая параллельная оси x или совпадающая с ней.
Прямая имеет с графиком 3 общие точки при m = 8 и m = -\frac{1}{36}.
Ответ: m = 8; m = -\frac{1}{36}.