В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
Решение:
Обозначим:
S – сумма кредита в банке и она равна 10 млн. рублей;
n – количество лет погашения кредита.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый год.
«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.»
Это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество лет n, т.е \frac{S}{n}) + начисленные % за этот год (0,1·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу:
Сложим все платежи:
\frac{S}{n}+0,1\cdot S+\frac{S}{n}+0,1\cdot S\cdot \frac{n-1}{n}+\frac{S}{n}+0,1\cdot S\cdot \frac{n-2}{n}+…+\frac{S}{n}+0,1\cdot S\cdot \frac{1}{n}
Сложив все \frac{S}{n} получим ровно S. А у % вынесем общий множитель:
S+0,1\cdot S\cdot \frac{1}{n}\cdot (n+(n-1)+(n-2)+…+1)
В скобках видим арифметическую прогрессию, по формуле найдём её сумму:
\frac{n+1}{2}\cdot n=\frac{(n+1)\cdot n}{2}
Подставим полученную сумму:
S+0,1\cdot S\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{(n+1)\cdot n}{2}=S+0,05\cdot S\cdot (n+1)
Вместо S подставим 10. Зная что сумма всех платежей равна 15 получим уравнение:
10 + 0,05·10·(n + 1) = 15
0,5·(n + 1) = 5
n + 1 = 10
n = 9
Ответ: 9.