В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Решение:
Обозначим:
S – сумма кредита в банке и она равна 5 млн. рублей;
n – количество лет погашения кредита.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый год.
«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.»
Это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество лет n, т.е \frac{S}{n}) + % начисленные за этот год (0,2·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу:
Сложим все платежи:
\frac{S}{n}+0,2\cdot S+\frac{S}{n}+0,2\cdot S\cdot \frac{n-1}{n}+\frac{S}{n}+0,2\cdot S\cdot \frac{n-2}{n}+…+\frac{S}{n}+0,2\cdot S\cdot \frac{1}{n}
Сложив все \frac{S}{n} получим ровно S. А у % вынесем общий множитель:
S+0,2\cdot S\cdot \frac{1}{n}\cdot (n+(n-1)+(n-2)+…+1)
В скобках видим арифметическую прогрессию, по формуле найдём её сумму:
\frac{n+1}{2}\cdot n=\frac{(n+1)\cdot n}{2}
Подставим полученную сумму:
S+0,2\cdot S\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{(n+1)\cdot n}{2}=S+0,1\cdot S\cdot (n+1)
Вместо S подставим 5. Зная что сумма всех платежей равна 7,5 получим уравнение:
5 + 0,1·5·(n + 1) = 7,5
0,5·(n + 1) = 2,5
n + 1 = 5
n = 4
Ответ: 4.