Решение №1258 Найдите наименьшее значение функции у = x√x – 6x + 11 на отрезке [0; 30].

Решение:

y = x√x – 6x + 11

    Найдем производную функции:

    y′ = x′·√x + x·√x′ – 6 = √x + \frac{x}{2\sqrt{x}} – 6

    Найдем нули производной:

√x + \frac{x}{2\sqrt{x}} – 6 = 0
\frac{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}+x}{2\sqrt{x}}=6\\\frac{2x+x}{2\sqrt{x}}=6\\\frac{3x}{2\sqrt{x}}=6\\2\sqrt{x}\cdot 6=3x\cdot 1\\12\sqrt{x}=3x\:{\color{Blue} |: 3}\\4\sqrt{x}=x\:{\color{Blue} |^{2}}\\16x=x^{2}\\16x-x^{2}=0\\x\cdot (16-x)=0
x₁ ≠ 0
(знаменатель не может быть равен 0)
или
16 – х = 0
х₂ = 16

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = 16, там и будет наименьшее значение функции:

у(16) = 16√16 – 6·16 + 11 = 16·4 – 96 + 11 = –21

Ответ: –21.