Решение №1988 Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Источник: mathege

Решение:

Обозначим радиус окружности как R. Тогда сторона описанного квадрата равна 2R, найдём его площадь:

S_ABCD = (2R)² = 4R²

Диагональ вписанного квадрата 2R, из прямоугольного ΔADC по теореме Пифагора найдём его площадь:

AD² + DC² = AC²
a² + a² = (2R)²
2a² = 4R²
a² = 2R² = S_{A′B′C′D′}

Найдём во сколько раз площадь описанного квадрата больше вписанного квадрата:

$\frac{S_{ABCD}}{S_{A{}'B{}'C{}'D{}'}}=\frac{4R^{2}}{2R^{2}}=2$

Ответ: 2.