Решение №6739 В треугольнике ABC на медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 4:5.

Решение:

По теореме Менелая для треугольника ΔСМВ и прямой АP:

\frac{KM}{BK}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CA}{AM}=1\\ \frac{5x}{4x}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{2y}{y}=1\\\frac{BP}{PC}=\frac{2}{5}

Отсюда PC составляет 5 частей, а BP – 2 части, значит вся сторона BC = 2 + 5 = 7 частей. Следовательно, CP : CB = 5 : 7.

Обозначим S_ΔABC, как S.
Треугольники ΔABM и ΔCBM равновеликие, т.к. образованы медианой BM, значит имеют равную площадь:

S_{\bigtriangleup ABM}=S_{\bigtriangleup CBM}=\frac{1}{2}S

Основание КМ треугольника ΔАКМ составляет \frac{5}{9} основания ВМ треугольника ΔАВМ (5 частей из 9 (4 + 5) частей), тогда S_ΔАКМ равна:

S_{\bigtriangleup AKM}= {\color{Magenta} \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{2}S}

Рассмотрим треугольник ΔСВМ. Точка К делит его медиану ВМ так, что ВК составляет \frac{4}{9} от ВМ. Площадь ΔСВК равна:

S_{\bigtriangleup CBK}=\frac{4}{9}\cdot S_{\bigtriangleup CBM}=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}S

Треугольники ΔСРК и ΔСВК имеют общую высоту из вершины К, значит их площади относятся как основания СР и СВ. Тогда площадь S_ΔСРК равна:

S_{\bigtriangleup CPK}= \frac{CP}{CB}\cdot S_{\bigtriangleup CBK}= {\color{Green} \frac{5}{7}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}S}

Находим отношение площадей S_ΔCKP : S_ΔAKM:

\frac{S_{\bigtriangleup CPK}}{S_{\bigtriangleup AKM}}=\frac{{\color{Green} \frac{5}{7}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}S}}{{\color{Magenta} \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{2}S}}=\frac{4}{7}=4:7

Ответ: 4:7.