Решение №6740 В треугольнике ABC на медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 5:2.

Решение:

По теореме Менелая для треугольника ΔСМВ и прямой АP:

\frac{KM}{BK}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CA}{AM}=1\\ \frac{2x}{5x}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{2y}{y}=1\\\frac{BP}{PC}=\frac{5}{4}

Отсюда PC составляет 4 части, а BP – 5 частей, значит вся сторона BC = 5 + 4 = 9 частей. Следовательно, CP : CB = 4 : 9.

Обозначим S_ΔABC, как S.
Треугольники ΔABM и ΔCBM равновеликие, т.к. образованы медианой BM, значит имеют равную площадь:

S_{\bigtriangleup ABM}=S_{\bigtriangleup CBM}=\frac{1}{2}S

Рассмотрим треугольник ΔАВМ. Точка К делит его медиану ВМ так, что ВК составляет \frac{5}{7} от ВМ. Площадь ΔАВК равна:

S_{\bigtriangleup ABK}= {\color{Magenta} \frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}S}

Рассмотрим треугольник ΔСВМ. Точка К делит его медиану ВМ так, что ВК составляет \frac{5}{7} от ВМ. Площадь ΔСВК равна:

S_{\bigtriangleup CBK}=\frac{5}{7}\cdot S_{\bigtriangleup CBM}=\frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}S

Треугольники ΔСРК и ΔСВК имеют общую высоту из вершины К, значит их площади относятся как основания СР и СВ. Тогда площадь S_ΔСРК равна:

S_{\bigtriangleup CPK}= \frac{CP}{CB}\cdot S_{\bigtriangleup CBK}= {\color{Green} \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}S}

Находим отношение площадей S_ΔCKP : S_ΔABK:

\frac{S_{\bigtriangleup CPK}}{S_{\bigtriangleup ABK}}=\frac{{\color{Green} \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}S}}{{\color{Magenta} \frac{5}{7}\cdot \frac{1}{2}S}}=\frac{4}{9}=4:9

Ответ: 4:9.