Решение №6702 Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 18 и 14

Решение:

Пусть BD = 18, AC = 14. CH – высота трапеции.
Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно отрезку BD:

BCED – параллелограмм, т.к. BD||CЕ по построению, BC||DE как основание и продолжение основания трапеции. Тогда противоположные стороны равны:

BD = CE = 18
BC = DE

Cредняя линия трапеции равна полу сумме оснований, зная длину средней линии найдём сумму оснований:

AD + BC = 9·2 = 18

Сторона AE треугольника ΔАСE равна:

AE = AD + DE = AD + BC = 18

В треугольнике ΔACE знаем все стороны, по формуле Герона найдём его площадь:

p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{14+18+18}{2}=\frac{50}{2}=25\\S_{\Delta ACE}=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{25(25-14)(25-18)(25-18)}=\sqrt{25\cdot 11\cdot 7\cdot 7}=\sqrt{25\cdot 11 \cdot 7^2}=5\cdot 7\cdot \sqrt{11}=35\sqrt{11}

Площадь трапеции ABCD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (DE+AD)\cdot CH

Площадь треугольника ΔACE можно так же найти по формуле:

S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH

Получаем:

S_ABCD = S_ΔACE = 35√11

Ответ: 35√11.