Решение №6701 Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 20 и 14

Решение:

Пусть BD = 20, AC = 14. CH – высота трапеции.
Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно отрезку BD:

BCED – параллелограмм, т.к. BD||CЕ по построению, BC||DE как основание и продолжение основания трапеции. Тогда противоположные стороны равны:

BD = CE = 20
BC = DE

Cредняя линия трапеции равна полу сумме оснований, зная длину средней линии найдём сумму оснований:

AD + BC = 11·2 = 22

Сторона AE треугольника ΔАСE равна:

AE = AD + DE = AD + BC = 22

В треугольнике ΔACE знаем все стороны, по формуле Герона найдём его площадь:

p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{14+20+22}{2}=\frac{56}{2}=28\\S_{\Delta ACE}=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{28(28-14)(28-20)(28-22)}=\sqrt{28\cdot 14\cdot 8\cdot 6}=\sqrt{4\cdot 7\cdot 2\cdot 7\cdot 2\cdot 4\cdot 6}=\sqrt{4^2\cdot 7^2\cdot 2^2 \cdot 6}=4\cdot 7\cdot 2 \cdot \sqrt{6}=56\sqrt{6}

Площадь трапеции ABCD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (DE+AD)\cdot CH

Площадь треугольника ΔACE можно так же найти по формуле:

S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (AD+DE)\cdot CH

Получаем:

S_ABCD = S_ΔACE = 56√6

Ответ: 56√6.