В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 27, BC = 12.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:
Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:
\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}
Тогда ВК = 4х и АК = 9х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(4x)^{2}+12^{2}}=\sqrt{16x^{2}+144}=\sqrt{16\cdot (x^{2}+9)}=4\cdot \sqrt{x^{2}+9}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(9x)^{2}+27^{2}}=\sqrt{81x^{2}+729}=\sqrt{81\cdot (x^{2}+9)}=9\cdot \sqrt{x^{2}+9}
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE).
KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=4\cdot \sqrt{x^{2}+9}\cdot 9\cdot \sqrt{x^{2}+9}=36\cdot (x^{2}+9)\\KE=\sqrt{36\cdot (x^{2}+9)}=6\cdot \sqrt{x^{2}+9}
Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:
\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{27\cdot 6\sqrt{x^{2}+9}}{9\cdot \sqrt{x^{2}+9}}=\frac{3\cdot 6\cdot 1}{1\cdot 1}=18
Ответ: 18.