В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 45, BC = 20.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:
Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:
\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}
Тогда ВК = 4х и АК = 9х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(4x)^{2}+20^{2}}=\sqrt{16x^{2}+400}=\sqrt{16\cdot (x^{2}+25)}=4\cdot \sqrt{x^{2}+25}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(9x)^{2}+45^{2}}=\sqrt{81x^{2}+2025}=\sqrt{81\cdot (x^{2}+25)}=9\cdot \sqrt{x^{2}+25}
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE).
KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=4\cdot \sqrt{x^{2}+25}\cdot 9\cdot \sqrt{x^{2}+25}=36\cdot (x^{2}+25)\\KE=\sqrt{36\cdot (x^{2}+25)}=6\cdot \sqrt{x^{2}+25}
Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:
\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{45\cdot 6\sqrt{x^{2}+25}}{9\cdot \sqrt{x^{2}+25}}=\frac{5\cdot 6\cdot 1}{1\cdot 1}=30
Ответ: 30.