Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 и МВ = 18. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}
Рассмотрим ΔDAC и ΔDBC, в них ∠D общий, вписанный ∠В равен половине дуги на которую опирается:
∠В = \frac{1}{2}‿АС
∠DCA угол между касательной и хордой, равен половине дуги заключённой между ними:
∠DCA = \frac{1}{2}‿АС
∠В = ∠DCA
ΔDAC ∼ ΔDBC подобны по двум углам, отсюда получаем отношение для сторон:
\frac{CD}{DB}=\frac{DA}{CD}=\frac{5}{9}
откуда:
CD2 = DB·DA
и
DB=\frac{9}{5}CD
Выразим DA:
DA = DB – AM – MB = DB – 10 – 18 = DB – 28 = \frac{9}{5}CD – 28
Всё подставим и найдём СD:
CD^{2}=\frac{9}{5}CD\cdot (\frac{9}{5}CD-28){\color{Blue} |:CD}\\CD=\frac{9}{5}\cdot (\frac{9}{5}CD-28)\\CD=\frac{81}{25}CD-\frac{252}{5}\\\frac{56}{25}CD=\frac{252}{5}\\CD=\frac{252}{5}:\frac{56}{25}=\frac{252\cdot 25}{5\cdot 56}=\frac{63\cdot 5}{1\cdot 14}=22,5
Ответ: 22,5.